Question

18．已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）的最小值是16；$\frac{ab}{2{a}^{2}+1}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

Answer 1

分析 化简（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）=（$\frac{a+b}{a}$+2）（$\frac{a+b}{b}$+2），从而求最小值；化简$\frac{ab}{2{a}^{2}+1}$=$\frac{ab}{2{a}^{2}+（a+b）^{2}}$=$\frac{1}{3\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}$，从而求最大值．

解答 解：（$\frac{1}{a}$+2）（$\frac{1}{b}$+2）
=（$\frac{a+b}{a}$+2）（$\frac{a+b}{b}$+2）
=（$\frac{b}{a}$+3）（$\frac{a}{b}$+3）
=3（$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$）+10≥16，
（当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$，即a=b=$\frac{1}{2}$时，等号成立），
$\frac{ab}{2{a}^{2}+1}$=$\frac{ab}{2{a}^{2}+（a+b）^{2}}$
=$\frac{1}{3\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{3}+2}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$，
（当且仅当3$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{a}$，即a=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，b=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$时，等号成立），
故答案为：16，$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质应用，同时考查了学生的化简运算能力，属于中档题．