Question

10．函数f（x）=x²+$\frac{a}{x}$在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的最大值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求导数得到$f′（x）=\frac{2{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$，由f（x）在区间（1，+∞）上是增函数便可得到a≤2x³在x∈（1，+∞）恒成立，而x＞1时，2x³＞2，这样即可得出a≤2，从而便可得出实数a的最大值．

解答 解：$f′（x）=2x-\frac{a}{{x}^{2}}=\frac{2{x}^{3}-a}{{x}^{2}}$；
f（x）在区间（1，+∞）上是增函数；
∴f′（x）≥0在x∈（1，+∞）上恒成立；
∴a≤2x³在x∈（1，+∞）上恒成立；
∵x∈（1，+∞）时，2x³＞2；
∴a≤2；
∴实数a的最大值为2．
故选D．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，由x＞1根据不等式的性质求2x³的范围，或根据函数y=2x³的单调性求2x³的范围．