Question

19．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数f（x）=f（x-3），且满足f（-2）=-3，若数列{a_n}的前n项和S_n满足$\frac{{S}_{n}}{n}=\frac{2{a}_{n}}{n}+1$，则f（a₅）+f（a₆）=3．

Answer 1

分析 求出{a_n}的递推式，计算a₅，a₆，根据f（x）的周期T=3和奇偶性计算f（a₅），f（a₆）．

解答 解：∵$\frac{{S}_{n}}{n}=\frac{2{a}_{n}}{n}+1$，∴S_n=2a_n+n，
当n=1时，a₁=2a₁+1，∴a₁=-1．
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1+n-1，
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1+1，
∴a_n=2a_n-1-1．
∴a₂=-3，a₃=-7，a₄=-15，a₅=-31，a₆=-63．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=f（x-3），
∴f（a₅）=f（-31）=f（-1）=-f（1）=-f（-2）=3．
f（a₆）=f（-63）=f（0）=0．
∴f（a₅）+f（a₆）=3．
故答案为：3．

点评 本题考查了数列的递推式，函数奇偶性与周期性的应用，属于中档题．