Question

7．已知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x．
（1）求f（x）的最小正周期及最小值；
（2）求使f（x）=3的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用两角和差的正弦公式展开，再利用二倍角公式将其化简为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，再由正弦函数的性质，求得最小正周期和最小值，
（2）由f（x）=3可知，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得x=kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），写出解集．

解答 解：（1）f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x，
=sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2xsin$\frac{π}{6}$+sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$+cos2x+1，
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1，
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴f（x）的最小正周期为π，最小值-1，
（2）f（x）=3，2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），
x=kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z），
求使f（x）=3的x的取值集合{x丨x=kπ+$\frac{π}{6}$，（k∈Z）}．

点评 本题考查两角和差的正弦公式及二倍角公式以及三角函数的性质，属于中档题．