Question

12．从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱子中随机地取出2个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的概率分布．

Answer 1

分析 从箱中取两个球的情形有六种，相应的得到X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布列．

解答 解：从箱中取两个球的情形有以下六种：
{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，则X=-2；
当取到1白1黄时，输1元，记随机变量X=-1；
当取到1白1黑时，随机变量X=1；
当取到2黄时，X=0；当取到1黑1黄时，X=2；
当取到2黑时，X=4．
则X的可能取值为-2，-1，0，1，2，4．
∵P（X=-2）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{5}{22}$，P（X=-1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{2}{11}$，
P（X=0）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{66}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{4}{11}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{4}{33}$，P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{11}$．
从而得到X的概率分布列如下：

X	-2	-1	0	1	2	4
P	$\frac{5}{22}$	$\frac{2}{11}$	$\frac{1}{66}$	$\frac{4}{11}$	$\frac{4}{33}$	$\frac{1}{11}$

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．