Question

20．在直角三角形ABC中，D是斜边BC上的一点，AB=BD．
（Ⅰ）若AC=3，CD=1，求AD长；
（Ⅱ）若AC=$\sqrt{3}$DC，求角B的值．

Answer 1

分析 （I）设AB=x，利用勾股定理列方程解出x，得出三角形的三边长，得出cosB，在△ACD中利用余弦定理计算AD；
（II）AC=AB+$\frac{\sqrt{3}}{3}AC$，利用勾股定理列方程得出AB，AC的关系，从而求出tanB．

解答 解：（I）在直角三角形ABC中，设AB=BD=x，则BC=x+1，
由勾股定理得x²+9=（x+1）²，解得x=4．
∴AB=4，BC=5，
∴cosC=$\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$．
在△ACD中，由余弦定理得AD²=AC²+CD²-2AC•CDcosC=9+1-$\frac{18}{5}$=$\frac{32}{5}$．
∴AD=$\sqrt{\frac{32}{5}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
（II）∵AC=$\sqrt{3}$CD，∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}AC$，
∵AB=BD，∴BC=AB+$\frac{\sqrt{3}}{3}AC$．
由勾股定理得AB²+AC²=BC²，即AB²+AC²=（AB+$\frac{\sqrt{3}}{3}$AC）²，
整理得AC=$\sqrt{3}$AB．
∴tanB=$\frac{AC}{AB}=\sqrt{3}$．
∴B=$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了勾股定理，余弦定理，特殊角的三角函数值，属于基础题．