Question

4．某公司为生产某种产品添置了一套价值20000元的设备，而每生产一台这种产品所需要的原材料和劳动力等成本合计100元，已知该产品的年销售收入R（元）与年产量x（台）的关系是R（x）=$\left\{\begin{array}{l}{500x-\frac{1}{2}{x}^{2}（0≤x≤500）}\\{125000（x＞500）}\end{array}\right.$，x∈N．
（1）把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）当年产量为多少台时，该产品的年利润最大？最大年利润为多少元？
（注：利润=销售收入-总成本）

Answer 1

分析 （1）利用y=R（x）-100x-20000分0≤x≤400、x＞500两种情况讨论即可把该产品的年利润y（元）表示为年产量x（台）的函数；
（2）分段求最大值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意y=R（x）-100x-20000元，
当0≤x≤500时，y=500x-$\frac{1}{2}$x²-100x-20000=-$\frac{1}{2}$（x-400）²+60000，
当x＞500时，y=125000-100x-20000=105000-100x，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}（x-400）^{2}+60000（0≤x≤500）}\\{105000-100x（x＞500）}\end{array}\right.$；
（2）当0≤x≤500时，y=-$\frac{1}{2}$（x-400）²+60000
显然当x=400时，y取最大值60000元；
当x＞500时，y=105000-100x，
显然y随着x的增大而减小，y＜105000-100•500=55000
∴每年生产400台时，该产品的年利润最大，最大利润为60000元．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．