Question

8．如图，四边形ABCD为梯形，其中AB=a，CD=b，若GH表示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLCD相似的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段．
    试研究线段GH，KL，MN与代数式$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{ab}$，$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$之间的关系（需写出计算过程），并据此得到它们之间的一个大小关系．请你用基本不等式证明所得的结论．

Answer 1

分析 由相似及梯形的面积公式可得GH=$\frac{AB+CD}{2}$=$\frac{a+b}{2}$，KL=$\sqrt{AB•CD}$=$\sqrt{ab}$，MN=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，从而利用基本不等式及作差法比较大小．

解答 解：∵GH是梯形ABCD的中位线，
∴GH=$\frac{AB+CD}{2}$=$\frac{a+b}{2}$，
∵KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLCD相似的线段，
∴$\frac{AB}{KL}$=$\frac{KL}{CD}$，
∴KL=$\sqrt{AB•CD}$=$\sqrt{ab}$，
∵MN表示平行于两底且将梯形ABCD分为面积相等的两个梯形的线段，
∴设梯形ABCD的高为h，则梯形ABNM的高为$\frac{MN-AB}{CD-AB}$h，
由题意知，
$\frac{1}{2}$$\frac{AB+MN}{2}$•$\frac{MN-AB}{CD-AB}$h=$\frac{1}{2}•$$\frac{1}{2}$$\frac{AB+CD}{2}$•h，
解得，MN=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，
由基本不等式可得，$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，
（当且仅当a=b时，等号成立），
故$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$，
$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$＞0，
故$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，
故$\sqrt{ab}$＜$\frac{a+b}{2}$＜$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$，
即KL＜GH＜MN．

点评 本题考查了梯形的性质的应用及基本不等式的应用，同时考查了数形结合的思想应用．