Question

18．函数f（x）=$\frac{ax}{ax+1}$，a≠0，a为常数，方程f（x）=x有唯一实数解
（1）求f（x）
（2）x₁=2，x_n+1=f（x_n），n∈N^*，求证：数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}为等差数列，并求x_n．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=x有唯一解，求出a的值，从而求出函数的表达式，
（2）由题意可知，x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}-1}$，继而得到$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=1，数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，即可求出通项公式．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{ax}{ax+1}$，a≠0，a为常数，方程f（x）=x，
∴ax²+x=ax，
即ax²+x（1-a）=0，
∴△=（1-a）²=0，
解得a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{x+1}$，
（2）x_n+1=f（x_n），
∴x_n+1=$\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}-1}$，
∴x_n+1x_n-x_n+1=x_n，
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}}$-$\frac{1}{{x}_{n}}$=1，
∵x₁=2，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=n-$\frac{1}{2}$，
∴x_n=$\frac{2}{2n-1}$，
当n=1时，成立，
故x_n=$\frac{2}{2n-1}$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．