Question

9．已知函数f（x）=cos（sinx）+sin（cosx）．则下列结论正确的是（　　）

• A． f（x）的周期为π
• B． f（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）上单调递减
• C． f（x）的最大值为$\sqrt{2}$
• D． f（x）的图象关于直线x=π对称

Answer 1

分析 验证f（0）与f（π）是否相等判断A，根据复合函数的单调性判断B，计算f（0）与$\sqrt{2}$比较大小判断C．

解答 解：（A）∵f（0）=cos0+sin1=1+sin1，f（π）=cos0+sin（-1）=1-sin1．
∴π不是f（x）的周期．故A错误．
（B）当x∈（-$\frac{π}{2}$，0）时，y=sinx为增函数，y=cosx为增函数，且sinx∈（-$\frac{π}{2}$，0），cosx∈（0，$\frac{π}{2}$）．
∴y=sin（cosx）是增函数，y=cos（sinx）是增函数，
∴f（x）在（-$\frac{π}{2}$，0）上是增函数，故B错误．
（C）∵f（0）=cos0+sin1=1+sin1＞$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$不是f（x）的最大值，故C错误．
（D）f（π+x）=cos[sin（π+x）]+sin[cos（π+x）]=cos（-sinx）+sin（-cosx）=cos（sinx）-sin（cosx）．
f（π-x）=cos[sin（π-x）]+sin[cos（π-x）]=cos（sinx）+sin（-cosx）=cos（sinx）-sin（cosx）．
∴f（π+x）=f（π-x）．
∴x=π是f（x）的对称轴，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查了函数的周期性，单调性判断，函数的最值，属于中档题．