Question

4．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\sqrt{3}$，若抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点到双曲线C₁的渐近线的距离为$\sqrt{2}$，则抛物线C₂的方程为（　　）

• A． y²=2$\sqrt{3}$x
• B． y²=4$\sqrt{3}$x
• C． y²=4x
• D． y²=6x

Answer 1

分析 由题意可得双曲线的渐近线方程和离心率，可得b=$\sqrt{2}$a，求出渐近线方程，由点到直线的距离公式可得p=2$\sqrt{3}$，进而可得抛物线的方程．

解答 解：由题意可得双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线为y=±$\frac{b}{a}$x，
离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}$=$\sqrt{3}$，
解得b=$\sqrt{2}$a，
可得渐近线的方程为y=±$\sqrt{2}$x，
又抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
则焦点到y=$\sqrt{2}$x的距离d=$\frac{\frac{\sqrt{2}p}{2}}{\sqrt{1+2}}$=$\sqrt{2}$，
解得p=2$\sqrt{3}$．
可得抛物线的方程为y²=4$\sqrt{3}$x．
故选：B．

点评 本题考查双曲线与抛物线的简单性质，涉及离心率的应用和点到直线的距离公式，属中档题．