Question

16．已知双曲线${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的左右焦点分别为F₁，F₂，点P为双曲线左支上一点，且$|P{F_1}|=\frac{3}{5}|{F_1}{F_2}|$，则△PF₁F₂的面积是24．

Answer 1

分析 求出双曲线的a，b，c，由条件可得|PF₁|，运用双曲线的定义，求得|PF₂|，由勾股定理的逆定理可得△PF₁F₂为斜边为F₁F₂的直角三角形，由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的a=1，b=2$\sqrt{6}$，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=5，
由$|P{F_1}|=\frac{3}{5}|{F_1}{F_2}|$，可得：
|PF₁|=$\frac{3}{5}$×10=6，
由双曲线的定义可得|PF₂|-|PF₁|=2a=2，
可得|PF₂|=6+2=8，
由|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
可得△PF₁F₂为斜边为F₁F₂的直角三角形，
可得△PF₁F₂的面积是$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
故答案为：24．

点评 本题考查三角形的面积的求法，注意运用双曲线的定义，判断三角形为直角三角形是解题的关键，属于中档题．