Question

2．函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增且图象过（$\frac{2π}{3}$，0），则ω=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的增区间，令（0，$\frac{π}{3}$）为其增区间的子集求出ω的范围，由f（$\frac{2π}{3}$）=0计算ω的取值范围，结合ω＞0得出ω的值．

解答 解：令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤ωx≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}$．
∴f（x）的增区间为[-$\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}$，$\frac{π}{2ω}+\frac{2kπ}{ω}$]，k∈Z．
∵f（x）在（0，$\frac{π}{3}$）上单调递增，
∴$\frac{π}{3}≤$$\frac{π}{2ω}$，解得ω$≤\frac{3}{2}$．
∵f（x）的图象经过（$\frac{2π}{3}$，0），
∴sin$\frac{2πω}{3}$=0，∴$\frac{2πω}{3}=kπ$，解得ω=$\frac{3k}{2}$，k∈Z．
∴当k=0时，$ω=\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，属于中档题．