Question

17．求下列函数的周期及最大值、最小值．
（1）y=sin3xcos3x；
（2）y=$\frac{1}{2}$-sin²x；
（3）y=sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式可得y=$\frac{1}{2}$sin6x，易得答案；
（2）化简可得y=$\frac{1}{2}$cos2x，易得答案；
（3）由三角函数公式化简可得y=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，可得答案．

解答 解：（1）y=sin3xcos3x=$\frac{1}{2}$sin6x，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{6}$=$\frac{π}{3}$，最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$；
（2）y=$\frac{1}{2}$-sin²x=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（1-cos2x）=$\frac{1}{2}$cos2x，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$；
（3）y=sin（x-$\frac{π}{3}$）cosx=（$\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）cosx
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（1+cos2x）
=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴函数的周期T=$\frac{2π}{2}$=π，最大值为$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，最小值为-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数的最值和周期性，涉及三角函数公式，属中档题．