Question

12．已知点F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （1，2）
• C． （1，1+$\sqrt{2}$）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 利用双曲线的对称性可得∠AEB是钝角，得到|AF|＞|EF|，求出|AF|，|CF|，得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．

解答 解：∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF，
∵△ABE是钝角三角形，
∴∠AEB是钝角，即有|AF|＞|EF|，
∵F为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，
∴|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵|EF|=a+c，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$＞a+c，即c²-ac-2a²＞0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e²-e-2＞0，
解得e＞2或e＜-1（舍去），
则双曲线的离心率的范围是（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的对称性、双曲线的三参数关系：c²=a²+b²，双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．