Question

4．已知双曲线$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦距为4，离心率为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点C，D，如果C，D能都在以点A（0，-1）为圆心的同一个圆上，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设双曲线C的焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的标准方程；
（2）将直线l的方程代入双曲线的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，由中点坐标公式可得CD的中点M的坐标，由题意可得直线l与直线AM垂直，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得k，m的关系式，代入判别式大于0的式子，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）设双曲线C的焦距为2c，
由题意得2c=4，$\frac{c}{a}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
所以c=2，$a=\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
所以双曲线C的标准方程为$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$．
（2）联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}-{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（3k²-1）x²+6kmx+3（m²+1）=0，
首先应有$\left\{{\begin{array}{l}{3{k^2}-1≠0}\\{△={{（6km）}^2}-4（3{k^2}-1）×3（{m^2}+1）＞0}\end{array}}\right.$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{3{k^2}-1≠0}\\{{m^2}-3{k^2}+1＞0}\end{array}}\right.$（※），
设点C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段CD的线段为M（x₀，y₀），
由韦达定理得${x_1}+{x_2}=\frac{-6km}{{3{k^2}-1}}$，
所以${x_0}=\frac{-3km}{{3{k^2}-1}}$，${y_0}=k{x_0}+m=\frac{-m}{{3{k^2}-1}}$，
所以点$M（\frac{-3km}{{3{k^2}-1}}，\frac{-m}{{3{k^2}-1}}）$，
可得直线AM的斜率为${k_{AM}}═\frac{{\frac{-m}{{3{k^2}-1}}+1}}{{\frac{-3km}{{3{k^2}-1}}}}=\frac{{3{k^2}-m-1}}{-3km}$，
由题意应有直线l与直线AM垂直，所以k_AM•k=-1，
即$\frac{{3{k^2}-m-1}}{-3km}•k=-1$，
化简得3k²=4m+1，因为3k²＞0，
所以4m+1＞0，解得$m＞-\frac{1}{4}$．
将3k²=4m+1代入（※）式得$\left\{{\begin{array}{l}{4m+1-1≠0}\\{{m^2}-（4m+1）+1＞0}\end{array}}\right.$，
解得m＜0或m＞4．
故m的取值范围是$\left\{{m\left|{-\frac{1}{4}＜m＜0，或m＞4}\right.}\right\}$．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查直线方程和双曲线的方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．