Question

16．设F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F₁PF₂=90°，求：
（1）△F₁PF₂的周长；
（2）△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）设P为右支上一点，|PF₂|=m，运用双曲线的定义和勾股定理，求得m，进而得到三角形的周长；
（2）运用直角三角形的面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设P为右支上一点，|PF₂|=m，
由双曲线的定义可得|PF₁|=2a+m，
由∠F₁PF₂=90°，可得
m²+（2a+m）²=4c²，
由双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1可得，a=2，b=2，c=2$\sqrt{2}$，
即有m²+（4+m）²=32，
解得m=2$\sqrt{3}$-2．
可得△F₁PF₂的周长为2c+2a+2m=4$\sqrt{3}$+4$\sqrt{2}$；
（2）△F₁PF₂的面积为S=$\frac{1}{2}$m（2a+m）
=$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{3}$-2）•（2$\sqrt{3}$+2）
=4．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查勾股定理和三角形的面积公式的运用，属于基础题．