Question

11．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁和F₂，左右顶点分别为A₁和A₂，过焦点F₂与x轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P，若|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$|是|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|和|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{2}}$|的等比中项，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由题意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），令x=c，可得P的坐标，再由等比数列的中项的性质，可得（c+a）²+（$\frac{{b}^{2}}{a}$）²=2c（c+a），化简整理，由此可求双曲线的离心率．

解答 解：由题意可得A₁（-a，0），A₂（a，0），F₁（-c，0），F₂（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可取P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$|是|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|和|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{2}}$|的等比中项，
可得|$\overrightarrow{P{A}_{1}}$|²=|$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$|•|$\overrightarrow{{A}_{1}{F}_{2}}$|，
即有（c+a）²+（$\frac{{b}^{2}}{a}$）²=2c（c+a），
化为（c+a）（c-a）=c²-a²=b²=$\frac{{b}^{4}}{{a}^{2}}$，
即有a=b，c=$\sqrt{2}$a，
由e=$\frac{c}{a}$可得e=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等比数列中项的性质，以及离心率公式和a，b，c的关系，考查学生的化简计算能力，属于中档题．