Question

3．已知点F（$\sqrt{5}$，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离等于2，则过点F且与此双曲线只有一个交点的直线方程为y=2x-2$\sqrt{5}$或y=-2x+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，运用点到直线的距离公式可得b=2，解方程可得a=1，求得渐近线的斜率，由直线与渐近线平行时只有一个交点，可得所求直线的方程．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由题意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
点F到双曲线的渐近线的距离等于2，
即为$\frac{\sqrt{5}b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，解得b=2，a=1，
双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
渐近线方程为y=±2x，
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点．
即有直线的方程为y=±2（x-$\sqrt{5}$）．
故答案为：y=2x-2$\sqrt{5}$或y=-2x+2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程的运用，点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．