Question

18．若直线l：y=kx+m与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1交于E、F（不重合左右顶点），且EF为直径的圆过双曲线的右顶点D．证明：直线l过定点．

Answer 1

分析 设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂） 联立y=kx+m与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0，由△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，由此利用根的判别式、韦达定理结合已知条件能证明直线l的方程为y=k（x-$\frac{10}{3}$），过定点（$\frac{10}{3}$，0）．

解答 证明：设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
联立y=kx+m与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1，
得（4k²-1）x²+8kmx+4（m²+1）=0，
△=（8km）²-4（4m²+4）（4k²-1）＞0，
即4k²-m²-1＜0．
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{4{k}^{2}-1}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}+4}{4{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
又y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²，
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D（2，0）
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=0，即（x₁-2，y₁）•（x₂-2，y₂）=0，
即有（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
∴（k²+1）•$\frac{4{m}^{2}+4}{4{k}^{2}-1}$+（km-2）•$\frac{-8km}{4{k}^{2}-1}$+m²+4=0，
化简，得3m²+16km+20k²=0，
∴m₁=-2k，m₂=-$\frac{10}{3}$，且均满足4k²-m²-1＜0，
当m₁=-2k时，直线l的方程为y=k（x-2），
直线过定点（2，0），与已知矛盾．
当m₂=-$\frac{10}{3}$k时，直线l的方程为y=k（x-$\frac{10}{3}$），
过定点（$\frac{10}{3}$，0）．

点评 本题考查双曲线的方程的运用和直线l过定点的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，联立方程运用韦达定理，合理地进行等价转化．