Question

7．已知双曲线$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦点为F，P为双曲线C右支上的动点，A（0，4），则△PAF周长的最小值为14．

Answer 1

分析 求出右焦点H的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周长的最小值．

解答 解：∵F是双曲线$C：\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$的左焦点，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，c=3，F（-3，0 ），右焦点为H（3，0），
由双曲线的定义可得|PF|-|PH|=2a=4，
|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|
≥2a+|AH|=4+$\sqrt{9+16}$=4+5=9，
∵|AF|=$\sqrt{9+16}$=5，
∴当且仅当A，P，H共线时，△PAF周长取得最小值为9+5=14．
故答案为：14．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．