Question

10．已知双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1 （a＞0，b＞0），其中斜率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$的直线与其一条渐近线平行．
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）求出双曲线的渐近线方程，由题意可得b=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；
（2）根据过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线，写出直线的方程，联立直线与双曲线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，及A，B，C为双曲线上的点，注意整体代换，并代足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，即可求得λ的值．

解答 解：（1）双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由斜率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$的直线与其一条渐近线平行，可得
$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，即b=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$；
（2）由（1）可得双曲线的方程为x²-5y²=5b²，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-5{y}^{2}=5{b}^{2}}\\{y=x-c}\end{array}\right.$，得4x²-10cx+35b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=$\frac{5}{2}$c，x₁•x₂=$\frac{35{b}^{2}}{4}$，
设$\overrightarrow{OC}$=（x₃，y₃），$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=λ{x}_{1}+{x}_{2}}\\{{y}_{3}=λ{y}_{1}+{y}_{2}}\end{array}\right.$，
又C为双曲线上一点，即x₃²-5y₃²=5b²，
有（λx₁+x₂）²-5（λy₁+y₂）²=5b²，
化简得：λ²（x₁²-5y₁²）+（x₂²-5y₂²）+2λ（x₁x₂-5y₁y₂）=5b²，
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在双曲线上，
所以x₁²-5y₁²=5b²，x₂²-5y₂²=5b²，
而x₁x₂-5y₁y₂=x₁x₂-5（x₁-c）（x₂-c）
=-4x₁x₂+5c（x₁+x₂）-5c²=-4•$\frac{35{b}^{2}}{4}$+5c•$\frac{5c}{2}$-5c²
=$\frac{15{c}^{2}}{2}$-35b²=$\frac{15}{2}$•6b²-35b²=10b²，
得λ²+4λ=0，
解得λ=0或-4．

点评 此题是个难题．本题考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．其中问题（2）考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．