Question

14．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点F，作圆x²+y²=a²的切线FM与y轴交于点P（0，b），切圆于点M，则双曲线的离心率e为$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得F（c，0），P（0，b），求出直线PF的方程，由直线PF与圆x²+y²=a²相切的条件：d=r，运用点到直线的距离公式和a，b，c和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：由题意可得F（c，0），P（0，b），
直线PF的方程为$\frac{x}{c}$+$\frac{y}{b}$=1，即bx+cy-bc=0，
由直线PF与圆x²+y²=a²相切，可得
d=r，即$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$=a，
即有a²b²+a²c²=b²c²，
∴a²（c²-a²）+a²c²=（c²-a²）c²，
由e=$\frac{c}{a}$，整理，得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，或e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍），
解得e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，或e=-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍）．
故答案为：$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，是中档题．