Question

5．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的右焦点重合，点M是抛物线与双曲线的一个交点，若MF⊥x轴，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程算出其焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），得到|MF|=p．设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的右焦点为F算出双曲线的焦距|FF'|=p，△TFF'中利用勾股定理算出|MF'|=$\sqrt{2}$p，再由双曲线的定义算出2a=（$\sqrt{2}$-1）p，利用双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．

解答 解：抛物线y²=2px的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），
由MF与x轴垂直，令x=$\frac{p}{2}$，可得|MF|=p，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的实半轴为a，半焦距c，另一个焦点为F'，
由抛物线y²=2px的焦点F与双曲线的右焦点重合，
即c=$\frac{p}{2}$，可得双曲线的焦距|FF'|=2c=p，
由于△MFF'为直角三角形，则|MF'|=$\sqrt{2}$p，
根据双曲线的定义，得2a=|MF'|-|MF|=$\sqrt{2}$p-p，
可得a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$p．
因此，该双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案为：$\sqrt{2}$+1．

点评 本题给出共焦点的双曲线与抛物线，在它们的交点在x轴上射影恰好为抛物线的焦点时，求双曲线的离心率．着重考查了抛物线和双曲线的定义与标准方程、简单几何性质等知识，属于中档题．