Question

10．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，P为双曲线C右支上异于顶点的一点，△PF₁F₂的内切圆与x轴切于点（1，0），且P与点F₁关于直线y=-$\frac{bx}{a}$对称，则双曲线方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 设点P是双曲线右支上一点，按双曲线的定义，|PF₁|-|PF₂|=2a，设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．由同一点向圆引得两条切线相等知|PF₁|-|PF₂|=（PB+BF₁）-（PC+CF₂），由此得到△PF₁F₂的内切圆的圆心横坐标．即为a=1，运用对称思想，结合中点坐标公式和两直线垂直的条件，再由直线的斜率公式和点P满足双曲线方程，化简整理，即可得到b=2，进而得到双曲线方程．

解答 解：点P是双曲线右支上一点，
由双曲线的定义，可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
若设三角形PF₁F₂的内切圆心在横轴上的投影为A（x，0），该点也是内切圆与横轴的切点．
设B、C分别为内切圆与PF₁、PF₂的切点．考虑到同一点向圆引的两条切线相等：
则有：PF₁-PF₂=（PB+BF₁）-（PC+CF₂）
=BF₁-CF₂=AF₁-F₂A
=（c+x）-（c-x）
=2x=2a，即x=a，
所以内切圆的圆心横坐标为a．
由题意可得a=1，
设P（m，n），F₁（-c，0），
P与点F₁关于直线y=-$\frac{bx}{a}$对称，可得
$\frac{n-0}{m+c}$=$\frac{a}{b}$，$\frac{1}{2}$n=-$\frac{b}{2a}$（m-c），
解得m=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=$\frac{2ab}{c}$．
即有P（$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，$\frac{2ab}{c}$），
代入双曲线的方程可得$\frac{（{b}^{2}-{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
由a=1，c²-b²=1，
解得b=2，c=$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案为：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查定义法的运用，以及直线的斜率公式的运用，切线的性质，考查运算能力，属于中档题．