Question

1．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，其面积S=a²-（b-c）²．若a=2，则BC边上的中线长的取值范围是（1，4]．

Answer 1

分析 根据余弦定理和面积公式可求得sinA，cosA，利用正弦定理把b，c用sinB，sinC表示出来，在△ACD中使用余弦定理得出中线AD²关于B的函数，根据B的范围求出中线AD的最值．

解答 解：∵S=a²-（b-c）²=a²-b²-c²+2bc，
b²+c²-a²=2bccosA，
S=$\frac{1}{2}bcsinA$，
∴2bc（1-cosA）=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴sinA=4-4cosA，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴cosA=$\frac{15}{17}$，sinA=$\frac{8}{17}$．
由正弦定理得$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{2}{\frac{8}{17}}=\frac{17}{4}$，
∴b=$\frac{17}{4}sinB$，c=$\frac{17}{4}sinC$．
设BC的中点为D，则CD=$\frac{1}{2}AB=1$．
在△ACD中，由余弦定理得AD²=CD²+AC²-2AC•CDcosC=1+$\frac{289}{16}$sin²B-$\frac{17}{2}sinB$cosC．
∵cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=$\frac{8}{17}sinB-\frac{15}{17}cosB$，
∴AD²=1+$\frac{289}{16}$sin²B-$\frac{17}{2}sinB$（$\frac{8}{17}sinB-\frac{15}{17}cosB$）=$\frac{225}{16}$sin²B+$\frac{15}{2}$sinBcosB+1=$\frac{225}{16}$×$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{15}{4}$sin2B+1=$\frac{15}{4}$sin2B-$\frac{225}{32}$cos2B+$\frac{257}{32}$．
=$\frac{255}{32}$sin（2B-φ）+$\frac{257}{32}$，其中sinφ=$\frac{15}{17}$，cosφ=$\frac{8}{17}$，∴φ=$\frac{π}{2}-A$．
∴AD²=$\frac{255}{32}$sin（2B+A-$\frac{π}{2}$）+$\frac{257}{32}$=-$\frac{255}{32}$cos（2B+A）+$\frac{257}{32}$．
∵0＜B＜π-A，
∴A＜2B+A＜2π-A．
∵sinA=$\frac{8}{17}＜\frac{1}{2}$，∴A$＜\frac{π}{6}$，
∴当2B+A=π时，AD²取得最大值$\frac{255}{32}+\frac{257}{32}$=$\frac{256}{16}$=16，
当2B+A=A或2π-A时，AD²取得最小值-$\frac{255}{32}$×$\frac{15}{17}$+$\frac{257}{32}$=1．
∴1＜AD≤4．
故答案为（1，4]．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变换，三角函数的最值，过程较复杂，计算量较大，属于难题．