Question

6．若数列{a_n}满足a₁•a₂•a₃…a_n=n²+3n+2
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}…{a}_{n}-2}$，求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时利用a_n=$\frac{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n-1}}$化简，进而验证当n=1时是否成立即可；
（2）通过（1）计算、裂项可知，当n≥2时b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，进而验证可知当n=1时也成立，利用并项相消法计算即得结论．

解答 解：（1）∵a₁•a₂•a₃…•a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），
∴当n≥2时，a_n=$\frac{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n}}{{a}_{1}•{a}_{2}•…•{a}_{n-1}}$=$\frac{（n+1）（n+2）}{n（n+1）}$=$\frac{n+2}{n}$，
又∵a₁=1+3+2=6不满足上式，
∴数列{a_n}通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{6，}&{n=1}\\{\frac{n+2}{n}，}&{n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由（1）可知，当n≥2时，b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{1}•{a}_{2}•{a}_{3}…{a}_{n}-2}$=$\frac{\frac{n+3}{n+1}}{{n}^{2}+3n+2-2}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
又∵b₁=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}-2}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$满足上式，
∴b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和为1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．