Question

14．若圆C₁：x²+y²+ax=0与圆C₂：x²+y²+2ax+ytanθ=0都关于直线2x-y-1=0对称，则sinθcosθ=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． -$\frac{6}{37}$
• C． -$\frac{2}{5}$
• D． -$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 求出圆心坐标，根据圆关于直线对称，得到圆心在直线上，得到tanθ=-2，利用1的代换进行求解即可．

解答 解：圆C₁：x²+y²+ax=0的圆心坐标为（-$\frac{a}{2}$，0），圆C₂：x²+y²+2ax+ytanθ=0的圆心坐标为（-a，-$\frac{tanθ}{2}$），
∵两圆都关于直线2x-y-1=0对称，
∴圆心都在方程为2x-y-1=0的直线上，
则-$\frac{a}{2}$×2-1=0，得a=-1，
-2a+$\frac{tanθ}{2}$-1=0，即2+$\frac{tanθ}{2}$-1=0则$\frac{tanθ}{2}$=-1，即tanθ=-2，
则sinθcosθ=$\frac{sinθcosθ}{sin^2θ+cos^2θ}$=$\frac{tanθ}{1+ta{n}^{2}θ}$=$\frac{-2}{1+（-2）^{2}}$=$\frac{-2}{1+4}$=-$\frac{2}{5}$，
故选：C．

点评 本题主要考查三角函数值的化简和计算，根据圆的对称性，得到a，tanθ的值是解决本题的关键．综合性较强．