Question

2．已知a＞b＞0，a+b=1，则$\frac{4}{a-b}+\frac{1}{2b}$的最小值等于9．

Answer 1

分析 化简$\frac{4}{a-b}+\frac{1}{2b}$=$\frac{4（a-b+2b）}{a-b}$+$\frac{a-b+2b}{2b}$=4+4•$\frac{2b}{a-b}$+$\frac{a-b}{2b}$+1，从而利用基本不等式求最值．

解答 解：∵a＞b＞0，a+b=1，
∴a-b＞0，a-b+2b=1，
∴$\frac{4}{a-b}+\frac{1}{2b}$
=$\frac{4（a-b+2b）}{a-b}$+$\frac{a-b+2b}{2b}$
=4+4•$\frac{2b}{a-b}$+$\frac{a-b}{2b}$+1
=4•$\frac{2b}{a-b}$+$\frac{a-b}{2b}$+5≥9，
（当且仅当4•$\frac{2b}{a-b}$=$\frac{a-b}{2b}$，即a=$\frac{5}{6}$，b=$\frac{1}{6}$时，等号成立），
故答案为：9．

点评 本题考查了不等式的性质及应用，同时考查了整体思想与转化思想的应用，属于基础题．