Question

13．如图所示，在四面体S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，D是BC的中点．求证：
（1）SD⊥平面ABC；
（2）AD⊥SC；
（3）BC⊥SA．

Answer 1

分析 （1）由已知在△SBD中，求得BD，SD，的值，在△ABC中，可求AD的值，由AD²+SD²=1=SA²，可得AD⊥SD，又由SD⊥BC，即可证明SD⊥平面ABC．
（2）由AD⊥SD，AD⊥BC，可证AD⊥平面BCS，即可证明AD⊥SC；
（3）由AD⊥BC，SD⊥BC，可证BC⊥平面ADS，又SA?平面ADS，即可得证BC⊥SA．

解答 证明：（1）∵SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=60°，
∴△SAB与△SBC为全等的正三角形，
∴AB=AC=1，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，SD⊥BC，又∠BSC=90°，
∴在△SBD中，可得：BD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}\sqrt{S{B}^{2}+S{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
SD=$\sqrt{S{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△ABC中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴可得：AD²+SD²=1=SA²，
∴AD⊥SD，
又∵SD⊥BC，BC∩AD=D，
∴SD⊥平面ABC．
（2）∵由（1）可得AD⊥SD，AD⊥BC，SD∩BC=D，
∴AD⊥平面BCS，
又∵SC?平面BCS，
∴AD⊥SC；
（3）∵由（1）可得AD⊥BC，SD⊥BC，
又∵AD∩SD=D，
∴BC⊥平面ADS，
又∵SA?平面ADS，
∴BC⊥SA．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定和性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．