Question

3．已知函数f（x）=sin$\frac{πx}{2}$，任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值为M_t，最小值为m_t，记h（t）=M_t-m_t．
（1）求h（0）的值，并求出方程h（t）=2的根；
（2）当t∈[-2，2]时，求函数h（t）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得函数的周期为4，由h（0）=M₀-m₀ 求得结果．方程h（t）=2，即M_t-m_t=2，即 M_t=1，m_t=-1，结合f（x）的图象求得t的值．
（2）当t∈[-2，2]时，分类讨论分别求得M_t和m_t的值，可得h（t）=M_t-m_t的值．
g（t+4）=M_t-m_t=g（t），然后探索-2≤t≤0的函数f（x）的最值，以及g（t）的解析式，即可得到结论．

解答 解：（1）函数f（x）=sin$\frac{πx}{2}$，它的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{π}{2}}$=4，画出函数f（x）的部图象，
如右图，任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+2]上的最大值为M_t，最小值为m_t，
记h（t）=M_t-m_t ，则h（0）=M₀-m₀=1-0=1．
方程h（t）=2，即M_t-m_t=2，即 M_t=1，m_t=-1，此时，t=2k+1，k∈Z．
（2）当t∈[-2，2]时，
若-2≤t＜-1，M_t=sin（$\frac{t+2}{2}π$）=-sin$\frac{π}{2}$t，m_t=-1，g（t）=M_t-m_t =-sin$\frac{π}{2}$t+1．
若-1≤t＜0，M_t=1，m_t=sin$\frac{π}{2}$t，g（t）=M_t-m_t =1-sin$\frac{π}{2}$t，
若0≤t＜1，M_t=1，m_t=sin（$\frac{t+2}{2}π$）=-sin$\frac{π}{2}$t，g（t）=M_t-m_t =1+sin$\frac{π}{2}$t．
若1≤t≤2，M_t=sin$\frac{π}{2}$t，m_t=-1，g（t）=M_t-m_t =sin$\frac{π}{2}$t+1，
综上可得，函数h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{1-sin\frac{π}{2}t，t∈[-2，0）}\\{1+sin\frac{π}{2}t，t∈[0，2]}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数的周期性以及应用，根据三角函数的图象和性质写出函数式，综合性较强，难度较大．