Question

18．已知F₁，F₂为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点，过点F₂作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=3|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 由点到直线的距离公式可得|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=b，则|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=3b，cos∠F₁OM=-$\frac{a}{c}$，由此利用余弦定理可得a，b的关系，进而得到a，c的关系，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：由F₂（c，0）到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b
即有|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=b，
则|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=3b，在△MF₁O中，|$\overrightarrow{OM}$|=a，|$\overrightarrow{O{F}_{1}}$|=c，
cos∠F₁OM=-cos∠F₂OM=-$\frac{a}{c}$，
由余弦定理可知$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-9{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{a}{c}$，
又c²=a²+b²，化简可得a²=2b²，
即有c²=a²+b²=$\frac{3}{2}$a²，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用，考查运算能力，属于中档题．