Question

6．设a，b，c是正实数，满足b+c≥a，则$\frac{b}{c}+\frac{c}{a+b}$的最小值为$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用放缩法和基本不等式的性质进行求解．

解答 解：∵a，b，c是正实数，满足b+c≥a
∴$\frac{b}{c}+\frac{c}{a+b}$
≥$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{2b+c}$
=$\frac{b}{c}$+$\frac{1}{\frac{2b}{c}+1}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{2b}{c}+1）$+$\frac{1}{\frac{2b}{c}+1}$-$\frac{1}{2}$
$≥\sqrt{2}-\frac{1}{2}$（当且仅当b+c=a且$\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$时取等号）
故答案为：$\sqrt{2}-\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查基本不等式的应用和放缩法，属于中等题．