Question

7．如图，B、C两点之间不能直接到达，为测量B、C两点间的距离（单位：千米），先确定一条直线AD，使得A、D、B三点共线，且∠ADC为钝角，现测得∠BCD=60°，∠A=45°，CD=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，∠CDB=θ．
（参考数据：sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$）
（Ⅰ）求∠ACD的大小以及B、C两点间的距离；
（Ⅱ）求函数f（x）=|AD|sin（2x+∠B）（x∈[0，θ]）的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理可得∠ACD的大小以及B、C两点间的距离；
（Ⅱ）求函数f（x）=|AD|sin（2x+∠B）（x∈[0，θ]）的表达式，即可求出函数的最值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠ADC}=\frac{CD}{sinA}$，
∴sin∠ADC=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∵∠ADC为钝角，
∴∠ADC=105°，
∴∠ACD=30°．
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴BC=AC=$\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由正弦定理可得$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{AD}{\frac{1}{2}}$，∴AD=$\sqrt{3}$-1．
∴f（x）=|AD|sin（2x+∠B）=（$\sqrt{3}$-1）sin（2x+45°），
∵x∈[0°，75°]，
∴2x+45°∈[45°，195°]，
∴x=75°时，f（x）取得最小值=（$\sqrt{3}$-1）×$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{2}$；
x=22.5°时，f（x）取得最大值=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，正确求出∠ADC是关键．