Question

15．已知a+b+c=0，a²+b²+c²=1，求下列各式的值：
（1）bc+ca+ab；
（2）a⁴+b⁴+c⁴．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方和公式展开（a+b+c）²，然后将a+b+c=0，a²+b²+c²=1整体代入来求ab+bc+ca的值；
（2）根据完全平方和公式展开（a+b+c）⁴，然后将a+b+c=0，ab+bc+ca=-$\frac{1}{2}$整体代入来求a⁴+b⁴+c⁴的值．

解答 解：（1）∵a+b+c=0，
∴（a+b+c）²=0，即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=0，
∴a²+b²+c²+2（ab+bc+ca）=0，①
∵a²+b²+c²=1，②
把②代入①，得：
1+2（ab+bc+ca）=0，
解得，ab+bc+ca=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵a⁴+b⁴+c⁴
=（a²+b²+c²）²-2（a²b²+b²c²+c²a²）
=（a²+b²+c²）²-2[（ab+bc+ac）²-2abc（a+b+c）]，
ab+bc+ca=-$\frac{1}{2}$，a+b+c=0，
∴a⁴+b⁴+c⁴
=1-2×[（-$\frac{1}{2}$）²-0]
=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．另外，本题还利用了“整体代入”法．