Question

5．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，设M为BC的中点，若∠BAC=$\frac{π}{3}$，b=2，AM=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，则△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由M为BC中点得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），两边平方求出|$\overrightarrow{AB}$|，即c的值，代入面积公式S=$\frac{1}{2}bcsinA$求出面积．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos60°=|$\overrightarrow{AB}$|．
∵M是BC的中点，∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$），
∴${\overrightarrow{AM}}^{2}=\frac{1}{4}{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}{\overrightarrow{AC}}^{2}$，
即$\frac{7}{4}$=$\frac{1}{4}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$+$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|$+1，
解得$|\overrightarrow{AB}|$=1或|$\overrightarrow{AB}$|=-3（舍）．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×AC×sin∠BAC=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了解三角形的应用，三角形的面积计算，属于中档题．