Question

5．设α、β、γ∈（0，$\frac{π}{2}$）且tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{5}$，tanγ=$\frac{1}{8}$，求证：α+β+γ=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 利用两角和的正切公式，求得tan（α+γ）=$\frac{2}{3}$，可得α+γ为锐角，再求得tan[（α+γ）+β]=1，可得结论成立．

解答 解：∵α、β、γ∈（0，$\frac{π}{2}$）且tanα=$\frac{1}{2}$，tanβ=$\frac{1}{5}$，tanγ=$\frac{1}{8}$，∴tan（α+γ）=$\frac{tanα+tanγ}{1-tanαtanγ}$=$\frac{2}{3}$＞0，∴α+γ为锐角．
∵tan[（α+γ）+β]=$\frac{tan（α+γ）+tanβ}{1-tan（α+γ）tanβ}$=$\frac{\frac{2}{3}+\frac{1}{5}}{1-\frac{2}{3}•\frac{1}{5}}$=1，∴α+β+γ=$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．