Question

20．若f（x）=$\frac{2x-a}{{x}^{2}+2}$（x∈R）在区间[-1，2]上是增函数，则a=1．

Answer 1

分析 求导数得到$f′（x）=\frac{-2{x}^{2}+2ax+4}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，由f（x）在区间[-1，2]上是增函数便可得出-2x²+2ax+4≥0在x∈[-1，2]上恒成立，可设g（x）=-2x²+2ax+4，则有$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$，解该不等式组即可得出a的值．

解答 解：$f′（x）=\frac{-2{x}^{2}+2ax+4}{（{x}^{2}+2）^{2}}$；
∵f（x）在区间[-1，2]上是增函数；
∴f′（x）≥0在x∈[-1，2]上恒成立；
∴-2x²+2ax+4≥0在x∈[-1，2]上恒成立；
设g（x）=-2x²+2ax+4，则$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）=2-2a≥0}\\{g（2）=4a-4≥0}\end{array}\right.$；
∴解得a=1．
故答案为：1．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，要熟悉二次函数的图象，并注意正确求导．