Question

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A=$\frac{π}{3}$．
（1）若b=2，△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，求a的值；
（2）若2c²-2a²=b²，求证：2sin（C-$\frac{π}{3}$）=sinB．

Answer 1

分析 （1）根据面积公式计算c，再利用余弦定理计算a．
（2）利用正弦定理将边化角，使用和差化积公式化简即可得出结论．

解答 解：（1）在△ABC中，∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}c}{2}$=3$\sqrt{3}$，∴c=6．
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=4+36-12=28．
∴a=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$．
（2）∵2c²-2a²=b²，∴2（c+a）（c-a）=b²，
∴2（sinC+sinA）（sinC-sinA）=sin²B．
∴2×2sin$\frac{A+C}{2}$cos$\frac{C-A}{2}$×2cos$\frac{A+C}{2}$sin$\frac{C-A}{2}$=sin²B．
即2sin（A+C）sin（C-A）=sin²B．
∵sin（A+C）=sinB≠0，
∴2sin（C-A）=sinB，
即2sin（C-$\frac{π}{3}$）=sinB．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的恒等变换，属于中档题．