Question

9．设函数f（x）为R上的增函数，a、b∈R．求证：a+b≥0的充要条件是f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．

Answer 1

分析 由题意可得a≥-b，b≥-a，由函数的单调性可得不等式，相加可得．

解答 证明：a+b≥0等价于a≥-b，b≥-a，
由函数f（x）为R上的增函数可得f（a）≥f（-a），f（b）≥f（-b），
由不等式的可加性可得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．
反之，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），
可设a+b＜0，等价于a＜-b，b＜-a，
由函数f（x）为R上的增函数可得f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
由不等式的可加性可得f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
这与假设矛盾．则a+b≥0．
∴a+b≥0的充要条件是f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．

点评 本题考查函数的单调性，涉及充要条件和不等式的性质，属基础题．