Question

4．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若点F关于双曲线的渐近线的对称点在双曲线的右支上，则该双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设F（-c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设F（-c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
对称点为F'（m，n），
即有$\frac{n}{m+c}$=-$\frac{a}{b}$，
且$\frac{1}{2}$•n=$\frac{1}{2}$•$\frac{b（m-c）}{a}$，
解得m=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，n=-$\frac{2ab}{c}$，
将F'（$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），即（$\frac{{c}^{2}-2{a}^{2}}{c}$，-$\frac{2ab}{c}$），
代入双曲线的方程可得$\frac{（{c}^{2}-2{a}^{2}）^{2}}{{c}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}{b}^{2}}$=1，
化简可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，即有e²=5，
解得e=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．