Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦点是F（-c，0），斜率为2的直线l过点P并与两条渐近线交于A，B两点（A，B位于x轴同侧），且S_△BOF=4S_△AOF，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{109}}{3}$
• B． $\frac{10}{3}$
• C． 3
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=2（x+c），求得渐近线方程，求得交点A，B，再由同高不同底的三角形的面积之比为底边之比，
可得BF=4AF，即有$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{AF}$，运用向量共线的坐标表示，结合离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设直线l的方程为y=2（x+c），
联立双曲线的渐近线方程y=±$\frac{b}{a}$x，
解得A（$\frac{2ac}{-b-2a}$，$\frac{-2bc}{-b-2a}$），B（$\frac{2ac}{b-2a}$，$\frac{2bc}{b-2a}$），
由S_△BOF=4S_△AOF，
结合同高不同底的三角形的面积之比为底边之比，
可得BF=4AF，即有$\overrightarrow{BF}$=4$\overrightarrow{AF}$，
可得-c-$\frac{2ac}{b-2a}$=4（-c-$\frac{2ac}{-b-2a}$），
化简可得3b=10a，可得b=$\frac{10}{3}$a，
即有c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{100}{9}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{109}}{3}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{109}}{3}$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，主要考查渐近线方程的运用，同时考查三角形的面积之比为底边之比和向量共线的坐标表示，属于中档题．