Question

14．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作倾斜角为$\frac{π}{6}$的直线交双曲线的右支交于点P，若|PF₂|=|F₁F₂|，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$+1
• D． $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 设出双曲线的左焦点，由双曲线的定义求得|PF₁|，再由余弦定理和离心率公式计算即可得到所求．

解答 解：设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁（-c，0），
由于|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
由∠PF₁F₂=$\frac{π}{6}$，
由双曲线的定义可得，|PF₁|=2a+2c，
由余弦定理可得，|PF₂|²=|PF₁|²+|F₁F₂|²-2|PF₁|•|F₁F₂|•cos$\frac{π}{6}$，
即有4c²=（2a+2c）²+4c²-2（2a+2c）•2c•$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简可得a=（$\sqrt{3}$-1）c，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的求法，运用定义是解本题的关键．