Question

2．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为$120\sqrt{6t}$吨（0≤t≤24）
（1）设t小时后蓄水池中的存水量为y吨，写出y关于t的函数表达式；
（2）求从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
（3）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？

Answer 1

分析 （1）t小时后蓄水池中的水量为y吨，根据条件建立方程关系即可．
（2）根据函数关系转化为一元二次函数形式进行求解．
（3）根据条件建立不等式关系进行求解．

解答 解：（1）设t小时后蓄水池中的水量为y吨，
则$y=400+60t-120\sqrt{6t}$（0≤t≤24）
（2）令$\sqrt{6t}=x$，则x²=6t（0≤x≤12）
即y=400+10x²-120x=10（x-6）²+40（0≤x≤12）
∴当x=6时，即t=6时，y_min=40
即从供水开始到第6个小时时，蓄水池水量最少，最少水量为40吨．
（3）依题意，400+10x²-120x＜80，得x²-12x+32＜0
解得4＜x＜8，即$4＜\sqrt{6t}＜8$，解得$\frac{8}{3}＜t＜\frac{32}{3}$
由$\frac{32}{3}-\frac{8}{3}=8$，所以每天约有8小时供水紧张．

点评 本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立方程和函数关系是解决本题的关键．