Question

7．设M={x|x=a²-b²，a，b∈Z}．求证：
（1）1∈M；
（2）属于M的两个数，其积仍属于M；
（3）-2∉M．

Answer 1

分析 （1）找出平方差等于1的两个整数a，b即可；
（2）设x，y∈M，将xy表示成两个整数的平方差即可；
（3）假设-2∈M，使用反证法推出与已知相矛盾的结论即可，

解答 解：（1）令a=1，b=0，则a²-b²=1，
∴1∈M．
（2）设x，y∈M，则x=a²-b²，y=c²-d²，其中a，b，c，d∈Z．
∴xy=（a²-b²）（c²-d²）=（a²c²+b²d²）-（a²d²+b²c²）=（a²c²+b²d²+2abcd）-（a²d²+b²c²+2abcd）=（ac+bd）²-（ad+bc）²．
∵a，b，c，d∈Z．∴ac+bd∈Z，ad+bc∈Z．
∴xy∈Z．
（3）假设-2∈M，则存在a，b∈Z，使得a²-b²=-2，
∴（a+b）（a-b）=-2．
∵a，b∈Z，∴a+b∈Z，a-b∈Z．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{a-b=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-2}\\{a-b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-1}\\{a-b=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a+b=2}\\{a-b=-1}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．
与a，b∈Z矛盾．
∴-2∉M．

点评 本题考查了元素与集合的关系判断，属于基础题．