Question

20．知点A，B分别为双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设M在双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左支上，由题意可得M的坐标为（-2a，$\sqrt{3}$a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：设M在双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左支上，
且MA=AB=2a，∠MAB=120°，
则M的坐标为（-2a，$\sqrt{3}$a），
代入双曲线方程可得，$\frac{4{a}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得a=b，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．