Question

5．已知F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦点，若以F为圆心的圆C：x²+y²-4x+3=0与双曲线的渐近线相切，则双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．

Answer 1

分析 求得圆C的圆心和半径，可得c=2，即a²+b²=4，求出双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，即可得到双曲线的方程．

解答 解：圆C：x²+y²-4x+3=0的圆心为（2，0），半径为1，
即有F（2，0），即c=2，即a²+b²=4，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由直线和圆相切的条件，可得：
$\frac{2b}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，
可得双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，同时考查双曲线的渐近线方程的运用，属于中档题．