Question

10．已知F₁（-1，0），F₂（1，0）是椭圆C₁与双曲线C₂共同的焦点，椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁，e₂，则e₁+e₂取值范围为（　　）

• A． [2，+∞）
• B． [4，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'．由椭圆、双曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{a{'}^{2}}$，即有（$\frac{c}{a'}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，可得e₁•e₂=1．由此结合基本不等式求最值，即可算出e₁+e₂取值范围．

解答 解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'，
∵椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{b'}{a'}$，平方可得$\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{b{'}^{2}}{a{'}^{2}}$
由此得到$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{b{'}^{2}+a{'}^{2}}{a{'}^{2}}$，
即$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{a{'}^{2}}$，
也即（$\frac{c}{a'}$）²=（$\frac{a}{c}$）²，可得e₁•e₂=1，
∵e₁、e₂都是正数，
∴e₁+e₂≥2$\sqrt{{e}_{1}{e}_{2}}$=2，且等号不能成立．
因此e₁+e₂取值范围为（2，+∞）．
故选：D．

点评 本题给出椭圆与双曲线有公共的焦点，在椭圆的短轴端点B与F₁的连线平行双曲线的一条渐近线情况下，求离心率之和的范围．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．