Question

20．方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜$\frac{5}{2}$．
其中真命题的序号是（　　）

• A． ③④
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①当4-t=t-1＞0，即t=$\frac{5}{2}$时，曲线C表示圆；
②若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解出即可得出曲线C为椭圆；
③若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解出即可判断出；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0．

解答 解：方程$\frac{{x}^{2}}{4-t}$+$\frac{{y}^{2}}{t-1}$=1表示曲线C，以下命题：
①当4-t=t-1＞0，即t=$\frac{5}{2}$时，曲线C表示圆，因此不正确；
②若4-t＞0，t-1＞0且4-t≠t-1，解得1＜t＜4且t≠$\frac{5}{2}$，则曲线C为椭圆，因此不正确；
③若曲线C为双曲线，则（4-t）（t-1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-t＞t-1＞0，解得1＜t＜$\frac{5}{2}$，正确．
综上可得真命题为：③④．
故选：A．

点评 本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．