Question

11．已知双曲线与椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$共焦点，它们的离心率之和为$\frac{21}{10}$，则双曲线的方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{25}=1$
• C． $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），可得c=3即a²+b²=9，求得椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦点为（±3，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
可得c=3即a²+b²=9，
由椭圆的离心率为$\frac{3}{5}$，
可得双曲线的离心率为$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$，
又c=3，可得a=2，b=$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故选：D．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要是离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．